Berikut ini adalah metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial dx/dt = k x , dengan k adalah sebuah tetapan , yaitu x := ∑_{j=0}^∞ a_j t^j , tanpa mencari a_j untuk setiap j ∈ {0, 1, 2, 3, ...} . .
x = ∑_{j=0}^∞ a_j t^j ... (1)
dx/dt = ∑_{j=0}^∞ j a_j t^{j–1}
= ∑_{j=1}^∞ j a_j t^{j–1}
= ∑_{j=0}^∞ (j + 1) a^{j+1} t_j ... (2)
dx/dt = k x ... (3)
Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3) menghasilkan
(j + 1) a_{j+1} = k a_j
⇔ (j + 1) a_{j+1} – k a_j = 0 ... (4)
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1) menghasilkan
x = ∑_{j=0}^∞ a_j t^j
= ∑_{j=0}^∞ a_j t^j + 0
= ∑_{j=0}^∞ a_j t^j + ∑_{j=0}^∞ ( 0 ) e_j
⇔ x = ∑_{j=0}^∞ a_j t^j + ∑_{j=0}^∞ ( (j + 1) a_{j+1} – k a_j ) e_j ... (5)
di mana {1, e_0, e_1, e_2, e_3, ...} bebas linier . .
Tampak bahwa vektor e_j merupakan pengali dari sebuah syarat (j + 1) a_{j+1} – k a_j = 0 untuk setiap j ∈ {0, 1, 2, 3, ...} , yaitu syarat yang menghubungkan tetapan a_0 , a_1 , a_2, a_3 , ... . .
Memang, secara nalar, penyelesaian persamaan dx/dt = k x itu adalah x = A e^{kt} dengan A adalah sebuah tetapan integrasi . . Tetapi, persamaan (5) itu sebenarnya setara dengan persamaan x = A e^{kt} . .
Harap maklum . .